В 8-м классе изучались квадратные корни из действительных чисел (их называют также корнями 2-й степени).
Перейдем к изучению корней степени n для произвольного натурального числа
Определение. Пусть и Корнем n-й степени из числа a называется такое число t, n-я степень которого равна a .
Таким образом, утверждение «t — корень n-й степени из a» означает, что
Корень 3-й степени называется также кубическим.
Например, кубический корень из числа 125 — это число 5, так как Кубический корень из числа −125 — это число −5, так как
Корень 7-й степени из числа 128 — это число 2, так как Корень 7-й степени из числа −128 — это число −2, так как Корень 7-й степени из числа 0 — это 0, так как
Во множестве действительных чисел существует единственный корень нечетной степени n из любого числа a. Этот корень обозначается
Например,
Стр. 11Утверждение о существовании корня нечетной степени из любого числа мы принимаем без доказательства.
Согласно определению, когда n нечетное, то при любом значении а верно равенство
Например,
Заметим, что 0 — это единственное число, n-я степень которого равна 0. Поэтому
при любом натуральном существует единственный корень n-й степени из 0 — это число 0, т. е.
Примерами корней четной степени могут служить квадратные корни: −7 и 7 — квадратные корни из 49, а −15 и 15 — из 225. Рассмотрим еще несколько примеров. Корни 4-й степени из числа 81 — это числа 3 и −3, так как и Корни 6-й степени из числа 64 — это числа 2 и −2, так как и
Во множестве действительных чисел существует ровно два корня четной степени n из любого положительного числа а, их модули равны, а знаки противоположны. Положительный корень обозначается
Например,
Утверждение о существовании корня четной степени из любого положительного числа мы принимаем без доказательства. Согласно определению, когда n четное, то при любом положительном значении а верно равенство
Например,
Не существует такого числа, 4-я степень которого равна −81. Поэтому корня 4-й степени из числа −81 не существует. И вообще, поскольку не существует такого числа, четная степень которого была бы отрицательной, то
Стр. 12не существует корня четной степени из отрицательного числа.
Определение. Неотрицательный корень n-й степени из числа a называется арифметическим корнем n-й степени из a .
При четном n символом обозначается только арифметический корень n-й степени из числа a (при чтении записи слово «арифметический» обычно пропускают).
Выражение, стоящее под знаком корня, называется подкоренным выражением.
Извлечь корень n-й степени из числа a — это значит найти значение выражения
Так как корня четной степени из отрицательного числа не существует, то выражение при четном n и отрицательном а не имеет смысла.
Например, не имеют смысла выражения и
Как мы установили, при любом значении а, при котором выражение имеет смысл, верно равенство
1
Поэтому равенство (1) является тождеством.
В конце XV в. бакалавр Парижского университета Н. Шюке внес усовершенствования в алгебраическую символику. В частности, знаком корня служил символ (от латинского слова radix — корень). Так, выражение в символике Шюке имело вид
Знак корня в современном виде был предложен в 1525 г. чешским математиком К. Рудольфом. Его учебник алгебры переиздавался до 1615 г., и по нему учился знаменитый математик Л. Эйлер.
Знак еще называют радикалом.
Пример 1. Верно ли, что:
а)
б)
Решение. а) По определению арифметический корень n-й степени из неотрицательного числа a (n — четное число) является неотрицательным числом, n-я степень которого равна подкоренному выражению a.
Поскольку то равенство неверное. Верно равенство
б) По определению корень n-й степени из числа а (n — нечетное число) является числом, n-я степень которого равна подкоренному выражению а.
Поскольку — верное равенство, то равенство − верное.
Пример 2. Решить уравнение:
а)
б)
Решение. а) Решением этого уравнения является такое значение х, 3-я степень которого равна 7, т. е. по определению кубического корня имеем:
б) Решением этого уравнения является такое значение х, 4-я степень которого равна 5, т. е. (по определению) х — это корень 4-й степени из числа 5. Но из положительного числа 5 существуют два корня четвертой степени, которые равны по модулю и имеют противоположные знаки. Поскольку положительный корень обозначают то второй корень равен т. е.
Ответ: а) б)
В тетради решение уравнения б) (аналогично и а)) можно записать так:
Решение:
Ответ:
Пример 3. Решить уравнение:
а)
б)
Стр. 14Решение. а) Число 8 — четное, значит, данное равенство является тождеством при поэтому каждое неотрицательное значение х является решением (корнем) уравнения
б) Число 13 — нечетное, значит, данное равенство является тождеством при любом значении х, поэтому решением уравнения является любое действительное число, а R — множество всех его корней.
Ответ: а) б) R.
Пример 4. Решить уравнение
Решение. Обозначим тогда получим уравнение
Корни этого уравнения
Таким образом, имеем
или
откуда (поясните, почему уравнение не имеет корней).
Ответ:
1Какое число называется корнем n-й степени из числа а?
2Сколько существует корней четной степени n из положительного числа а?
3Корень какой степени существует из любого числа а?
4Какой корень n-й степени из числа а называется арифметическим?
5При каких значениях а верно равенство если:
а) n — нечетное число;
б) n — четное число?
1.24°Используя определение арифметического корня n-й степени, докажите, что:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
1.25°Верно ли, что:
1) число −4 является корнем четвертой степени из числа 256;
2) число −0,3 является корнем четвертой степени из числа −0,0081?
1.26°Верно ли, что:
1)
2)
3)
4)
1.27°Найдите арифметический квадратный корень из числа:
1) 16;
2) 49;
3) 0;
4) 1;
5) 0,81;
6) 0,25;
7) 2,25;
8) 1,21;
9)
10)
11)
12)
1.28°Найдите кубический корень из числа:
1) 1;
2) 0;
3) 343;
4) 8;
5)
6) 0,027;
7) 0,001;
8)
1.29°Найдите арифметический корень четвертой степени из числа:
1) 0;
2) 1;
3) 16;
4) 0,0016;
5)
6)
7) 0,0001;
8) 0,1296.
Вычислите (1.30—1.42).
1.30°1)
2)
3)
4)
5)
6)
1.31°1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
1.321)
2)
3)
4)
5)
6)
1.331)
2)
1.341)
2)
3)
4)
5)
6)
1.351)
2)
3)
4)
5)
6)
1.36°1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
1.37°1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
1.38°1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
1.39°1)
2)
3)
4)
5)
6)
1.401)
2)
3)
4)
1.411)
2)
3)
4)
1.421)
2)
3)
4)
Найдите естественную область определения выражения (1.43—1.44).
1.431)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
1.441)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
1.45Найдите длину ребра куба, если его объем равен:
1) 27 см3;
2) 64 мм3;
3) 0,125 дм3;
4) 0,216 м3.
Решите уравнение (1.46—1.54).
1.46°1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
1.471)
2)
3)
4)
5)
6)
1.48°1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
1.491)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
1.501)
2)
3)
4)
5)
6)
1.511)
2)
3)
4)
1.521)
2)
3)
4)
1.531)
2)
3)
4)
5)
6)
1.541)°
2)°
3)°
4)°
5)
6)
7)
8)